Teorema della mediana
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In geometria piana, il teorema della mediana è un teorema che lega la lunghezza della mediana in un triangolo alle lunghezze dei tre lati. È attribuito ad Apollonio.[1] La sua dimostrazione si può ricondurre alla legge del coseno o teorema di Carnot.
Enunciato
[modifica | modifica wikitesto]- In un triangolo il doppio del quadrato della mediana relativa ad un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati diminuito della metà del quadrato del primo lato.
In altri termini, con riferimento al triangolo OAB vale l'identità:
, dove M è il punto medio di AB.
Prima dimostrazione
[modifica | modifica wikitesto]Ponendo:
Si ha:
Elevando al quadrato scalare i membri delle ultime uguaglianze si ha:
sviluppando i calcoli si ottiene:
successivamente sommando membro a membro:
e infine:
.
Seconda dimostrazione
[modifica | modifica wikitesto]Ponendo:
applicando, ora, il teorema del coseno ai triangoli OMA e OMB, si ha:
Sommando quindi membro a membro le ultime uguaglianze si perviene all'identità richiesta.
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ Apollonio di Perga, su imati.cnr.it. URL consultato il 7 ottobre 2012 (archiviato dall'url originale il 17 febbraio 2013).