Stelligkeit

Begriff der Mathematik

Der Begriff Stelligkeit steht in der Mathematik für die Anzahl der Argumente einer Abbildung, einer Verknüpfung, bzw. eines Operators oder in der Informatik für die Parameteranzahl von Funktionen, Prozeduren oder Methoden. Allgemeiner kann dieser Begriff auch auf Relationen angewendet werden.[1]

Stelligkeit für Abbildungen

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Einstellige Funktionen sind nichts anderes als Abbildungen, in die man ein Argument einsetzen kann. Ein typisches Beispiel ist etwa die Betragsfunktion (absoluter Wert) einer Zahl.

Zweistellige Funktionen benötigen zwei Argumente. Diese nennt man je nach Kontext auch zweistellige Verknüpfung, wobei man sich vorstellt, dass die beiden Argumente durch die Funktion zu einem dritten verknüpft werden. Beispiele für zweistellige Verknüpfungen sind etwa die arithmetischen Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, oder Division, oder die logischen Operationen und und oder. Die Funktion   ist ein Beispiel für eine zweistellige Funktion, die man eher nicht als Verknüpfung ansieht.

Mehrstellige Funktionen. Eine  -stellige Funktion,  , ist eine Abbildung mit   Argumenten:

 

Für   gilt  , so dass man dann eine Funktion   hat. Ein Beispiel ist die Norm eines Vektors aus dem Vektorraum  , die aus den   Komponenten des Vektors gebildet wird. Man hat dann die  -stellige Funktion  .

Nullstellige Funktionen. Schließlich kann man die Auswahl eines festen Elements als nullstellige Funktion auffassen, etwa die Auswahl der Konstanten 0 oder 1. Das wird dadurch gerechtfertigt, dass das leere kartesische Produkt   gleich   ist und daher eine Abbildung   durch die Wahl des Bildes   festgelegt ist. Dem liegt die Vorstellung zu Grunde, dass man hier eine „Funktion“ hat, in die man nichts Variables einsetzen kann. Viele Autoren sprechen dann aber lieber von Konstanten.

Beispiele und Anmerkungen

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  • Die üblichen aus der Schule bekannten Funktionen wie die Quadratfunktion   oder die Exponentialfunktion   sind einstellig.
  • Die Addition auf den reellen Zahlen ist eine zweistellige Abbildung  . Statt   für das Ergebnis einer solchen Addition verwendet man die geläufigere Schreibweise  .
  • Mehrstellige Funktionen sind prinzipiell vermeidbar, denn man kann statt   Argumenten   genauso gut nur ein Argument verwenden, das dann das Tupel   ist. In der Informatik entspricht das dem Übergang von einer Methode mit   Variablen zu einer Methode, der ein Array, bestehend aus   Einträgen, zu übergeben ist. Letztlich ist das eine Frage der Zweckmäßigkeit.
  • In der Physik hat man es häufig mit Größen zu tun, die von mehreren Parameters abhängen. So hängt der Druck   eines eingeschlossenen Gases von dessen Volumen   und dessen Temperatur   ab. In der Physik sagt man,   sei eine Funktion von   und   und schreibt das als zweistellige Funktion  . Hier wäre eine Zusammenfassung der Argumente zu einem Tupel   unzweckmäßig, da man oft das Verhalten bei Änderung nur einer der Größen untersucht.

Stelligkeit von Relationen

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Man nennt eine Teilmenge   eine  -stellige Relation. Ist  , so spricht man von einer  -stelligen Relation auf  .

Eine einstellige Relation ist demnach nichts anderes als eine Teilmenge.

Eine nullstellige Relation ist wegen   bzw.   (leeres kartesisches Produkt) stets eine Teilmenge von  , also gleich   oder  . Ordnet man dies den logischen (booleschen) Konstanten falsch (für  ) und wahr (für  ) zu, so erhält man die nullstelligen Relationen als Wahrheitswerte.

Ein typisches Beispiel für eine zweistellige Relation ist

 ,

Dies ist eine zweistellige Relation auf den natürlichen Zahlen  , die man üblicherweise mit   bezeichnet. Statt   schreibt man  . Auch für beliebige zweistellige Relationen   wird   der besseren Lesbarkeit wegen gern als   wiedergegeben.

Zusammenhang zwischen Funktionen und Relationen

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Beachtet man, dass Funktionen spezielle Relationen sind, so decken sich die hier für Abbildungen und Relationen gegebenen Definitionen der Stelligkeit nicht. Behandelt man eine  -stellige Funktion als Relation, so bedeutet das, dass man von der Funktion

 

zu ihrem Funktionsgraphen

 

übergeht, und das ist eine  -stellige Relation.[2]

Anmerkungen

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  1. H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematische Logik. Spektrum Verlag, 1996, ISBN 3-8274-0130-5, Kapitel II Syntax der Sprachen erster Stufe.
  2. H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematische Logik. Spektrum Verlag, 1996, ISBN 3-8274-0130-5, S. 127.