Funzione generatrice dei momenti

Nel caso di variabili casuali discrete si ottiene:

${\displaystyle g(t)=\mathrm {E} [e^{tX}]=\sum _{i=1}^{n}p_{i}e^{tX_{i}},}$ 

mentre per la variabili casuali continue:

${\displaystyle g(t)=\mathrm {E} [e^{tX}]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f_{X}(x)dx,}$ 

dove ${\displaystyle p_{i},}$  con ${\displaystyle i=1,\ldots ,n,}$  e ${\displaystyle f_{X}(x)}$  denotano le funzioni di massa (densità nel caso continuo) della variabile casuale in questione.

Dalla funzione generatrice dei momenti è possibile ricavare i momenti semplici di ordine ${\displaystyle k}$  centrati in zero derivando ${\displaystyle k}$  volte ${\displaystyle g(t)}$  con ${\displaystyle t=0.}$  Ossia:

${\displaystyle \mu _{1}={\frac {dg}{dt}}|_{t=0}=g'(0);}$ 

${\displaystyle \mu _{2}={\frac {d^{2}g}{dt^{2}}}|_{t=0}=g''(0);}$ 

${\displaystyle \qquad \vdots }$ 

dalla seconda espressione sopra si può ad esempio ricavare la varianza.

Se ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},}$  sono variabili aleatorie indipendenti e ${\displaystyle X}$  la loro somma:

${\displaystyle \ X=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n},}$ 

allora la funzione generatrice dei momenti di ${\displaystyle X}$  è il prodotto delle funzioni generatrici dei momenti delle singole ${\displaystyle X_{i}}$ :

${\displaystyle g(t;X)=\prod _{i=1}^{n}g(t;X_{i}).}$ 

Un secondo teorema importante è il seguente: se due variabili casuali su uno stesso spazio di probabilità hanno stessa funzione generatrice dei momenti, allora le due variabili casuali hanno la stessa distribuzione.

• Giorgio Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, Zanichelli, Bologna, 2003

• Momento (statistica)
• Variabile casuale
• Valore atteso
• Funzione caratteristica (teoria della probabilità)

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione generatrice dei momenti, su MathWorld, Wolfram Research.