Ero sivun ”Trigonometriset integraalit” versioiden välillä

Trigonometriset integraalit ovat joukko trigonometrisia funktioita sisältäviä integraaleja, joita ei voida lausua alkeisfunktioiden avulla ja siksi niitä pidetään omina funktioinaan.

Sini-integraali (engl. sine integral) määritellään

${\displaystyle \mathrm {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}dt}$.

Tätä funktiota vastaava Taylorin sarjakehitelmä on

${\displaystyle \mathrm {Si} (x)={\frac {x}{1\cdot 1!}}-{\frac {x^{3}}{3\cdot 3!}}+{\frac {x^{5}}{5\cdot 5!}}-{\frac {x^{7}}{7\cdot 7!}}+\ldots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)(2k+1)!}}x^{2k+1}}$,

missä ${\displaystyle !}$ tarkoittaa kertomaa. Sini-integraali on pariton funktio, sillä

${\displaystyle \mathrm {Si} (-x)=-\mathrm {Si} (x)\,}$.

Kosini-integraali (engl. cosine integral) muistuttaa jonkin verran edellistä:

${\displaystyle \mathrm {Ci} (x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}dt}$.

Tämä voidaan kirjoittaa myös integraalina nollasta ${\displaystyle x}$:ään

${\displaystyle \mathrm {Ci} (x)=-\gamma -\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}dt}$,

missä ${\displaystyle \gamma }$ on Eulerin–Mascheronin vakio ja arvoltaan likimain 0,57721. Kosini-integraalifunktiota ei vastaa varsinainen Taylorin sarja, mutta jälkimmäisen esitysmuodon integraalille voidaan kirjoittaa sarjakehitelmä

${\displaystyle \mathrm {Ci} (x)=-\gamma -\ln x+{\frac {x^{2}}{2\cdot 2!}}-{\frac {x^{4}}{4\cdot 4!}}+{\frac {x^{6}}{6\cdot 6!}}-{\frac {x^{8}}{8\cdot 8!}}+\ldots =\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{2k(2k)!}}}$.

• eksponentti-integraali
• sinc-funktio

• Mathworld: Sini-integraali (englanniksi)
• Mathworld: Kosini-integraali (englanniksi)