Polygon

geometrische Form
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Ein Polygon (von altgriechisch πολυγώνιον polygṓnion ‚Vieleck‘; aus πολύς polýs ‚viel‘ und γωνία gōnía ‚Winkel‘)[1] oder auch Vieleck ist in der elementaren Geometrie eine ebene (planare) geometrische Figur, die durch einen geschlossenen Streckenzug gebildet wird.

Verschiedene Auffassungen von Polygonen und polygonalen Flächen

Ein Polygon ist ein zweidimensionales Polytop.

Ein Polygon erhält man, indem in einer Zeichenebene mindestens drei verschiedene (nicht kollineare) Punkte durch Strecken miteinander verbunden werden. Dabei entsteht ein geschlossener Streckenzug (Polygonzug) mit ebenso vielen Ecken, beispielsweise ein Dreieck (3 Punkte, 3 Strecken) oder ein Viereck (4 Punkte, 4 Strecken).

Die umschlossene Fläche wird oft auch als Polygon bezeichnet, so in der Planimetrie.

Definition und Bezeichnungen

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Ein Polygon ist eine Figur, die durch ein Tupel   von   verschiedenen Punkten definiert ist.

  • Die   Punkte heißen die Eckpunkte oder kurz Ecken des Polygons, ein Polygon mit   Ecken heißt  -Eck oder (insbesondere in der englischen Literatur) auch  -Gon.
  • Die Strecken   und   bezeichnet man als Seiten des Polygons.
  • Alle Verbindungsstrecken zweier Eckpunkte, die keine Seiten sind, nennt man Diagonalen.

Manchmal werden noch weitere Bedingungen für die Definition eines Polygons vorausgesetzt, die aber formal nicht notwendig sind:

  • Ein Polygon hat mindestens drei paarweise voneinander verschiedene Eckpunkte. Das schließt ein „Zweieck“ aus.[2]
  • Drei angrenzende Eckpunkte liegen nicht auf einer Geraden. Auch  ,  ,   und  ,  ,   gelten dabei als angrenzende Eckpunkte. Das schließt Ecken mit gestrecktem Winkel aus.

Klassifikation

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Historische Abbildung von Vielecken (1699)

Nach Anzahl der Ecken

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Polygone werden typischerweise nach der Zahl der Ecken (Wertigkeit des Polygons) benannt.

Regelmäßiges Polygon

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Hat ein Polygon gleiche Seiten und gleiche Innenwinkel, dann wird es als regelmäßiges Polygon oder reguläres Polygon bezeichnet. Viele regelmäßige Polygone lassen sich mit Zirkel und Lineal konstruieren (Konstruierbares Polygon).

Regelmäßige Polygone
  Ecken Bezeichnung Griechisch Zirkel
und
Lineal
Besonderheit
3 Dreieck Trigon   Erste Fermatsche Primzahl 3 = 220+ 1
4 Viereck Tetragon   Quadrat
5 Fünfeck Pentagon   Zweite Fermatsche Primzahl 5 = 221+ 1
6 Sechseck Hexagon  
7 Siebeneck Heptagon   Siebeneck nach Archimedes (Näherungskonstruktion)
8 Achteck Oktogon   englisch octagon
9 Neuneck Nonagon   seltener Enneagon
10 Zehneck Dekagon  
11 Elfeck Hendekagon  
12 Zwölfeck Dodekagon  
13 Dreizehneck Tridekagon  
14 Vierzehneck Tetradekagon  
15 Fünfzehneck Pentadekagon  
16 Sechzehneck Hexadekagon  
17 Siebzehneck Heptadekagon   Dritte Fermatsche Primzahl 17 = 222+ 1
18 Achtzehneck Oktodekagon   englisch octadecagon, octakaidecagon
19 Neunzehneck Nonadekagon   englisch auch enneadecagon, enneakaidecagon
20 Zwanzigeck Ikosagon  
21 Einundzwanzigeck Ikosihenagon  
22 Zweiundzwanzigeck Ikosidigon  
23 Dreiundzwanzigeck Ikositrigon  
24 Vierundzwanzigeck Ikositetragon  
25 Fünfundzwanzigeck Ikosipentagon  
26 Sechsundzwanzigeck Ikosihexagon  
27 Siebenundzwanzigeck Ikosiheptagon  
28 Achtundzwanzigeck Ikosioktogon   englisch icosioctagon
29 Neunundzwanzigeck Ikosienneagon  
30 Dreißigeck Triakontagon  
32 Zweiunddreißigeck Triakontadigon  
34 Vierunddreißigeck Triakontatetragon  
40 Vierzigeck Tetrakontagon  
48 Achtundvierzigeck Tetrakontaoktogon   englisch tetracontaoctagon
50 Fünfzigeck Pentakontagon  
51 Einundfünfzigeck Pentakontahenagon  
56 Sechsundfünfzigeck Pentakontahexagon  
60 Sechzigeck Hexakontagon  
64 Vierundsechzigeck Hexakontatetragon  
68 Achtundsechzigeck Hexakontaoktogon   englisch hexacontaoctagon
70 Siebzigeck Heptakontagon  
80 Achtzigeck Oktokontagon   englisch octacontagon
85 Fünfundachtzigeck Oktokontapentagon   englisch octacontapentagon
90 Neunzigeck Enneakontagon  
96 Sechsundneunzigeck Enneakontahexagon  
100 Hunderteck Hektogon  
257 257-Eck   Vierte Fermatsche Primzahl 257 = 223+ 1
1 000 Tausendeck Chiliagon  
10 000 Zehntausendeck Myriagon  
65 537 65 537-Eck   Fünfte Fermatsche Primzahl 65537 = 224+ 1
100 000 Hunderttausendeck  
1 000 000 Millioneck Megagon  
4 294 967 295 4 294 967 295-Eck   Das Produkt aus den fünf Fermatschen Primzahlen
(3 · 5 · 17 · 257 · 65537 = 4294967295 = 232 - 1)
liefert die größte bekannte ungerade Eckenanzahl,
die theoretisch mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
10100 Googoleck Googolgon   Eckenzahl: eine 1 mit 100 Nullen
Unendlicheck Apeirogon   Theoretische Grenzform mit unendlich vielen Seiten

Weitere Typen

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Klassifikation von Polygonen
Überschlagenes Polygon
Bei einfachen Polygonen berühren sich die Kanten nur in den Eckpunkten; bei überschlagenen Polygonen haben die Kanten zusätzliche Schnittpunkte durch Überschneidung.
Nicht-überschlagenes Polygon
Nicht überschlagene Vielecke können konvex (alle Innenwinkel sind kleiner als 180°) oder nichtkonvex (mindestens ein Innenwinkel ist größer als 180°) sein.
Nicht-planares Polygon
Im Raum liegendes (nicht-planares) Polygon.

Polygone können gleichseitig oder gleichwinklig sein:

Regelmäßiges Polygon
Hat ein Polygon sowohl gleiche Seiten als auch gleiche Innenwinkel, dann wird es als regelmäßiges Polygon oder reguläres Polygon bezeichnet.
Sternpolygon
Planare überschlagene reguläre Polygone werden wegen ihres Aussehens auch als Sternpolygone bezeichnet.
Orthogonales Polygon
Bei orthogonalen Polygonen treffen alle Kanten im rechten Winkel aufeinander (das heißt, der Innenwinkel beträgt an jeder Kante entweder 90° oder 270°).

Eigenschaften

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In einem nicht überschlagenen, ebenen  -Eck ist die Summe der Innenwinkel

 .

Für die Summe der Außenwinkel gilt dann unabhängig von der Zahl der Ecken

 .

Sind darüber hinaus alle Innen- und Außenwinkel gleich groß, so haben diese den Wert

    bzw.    .

Diagonalen

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Für nicht überschlagene Polygone gilt zur Berechnung der Anzahl der Diagonalen folgende Überlegung:

  1. Jede der   Ecken kann durch eine Strecke mit einer der anderen Ecken verbunden werden.
  2. Die Verbindung von Ecke   zur Ecke   ist mit der Verbindung von   nach   identisch.
  3. Genau   Verbindungen sind Seiten des Polygons.

Also hat ein nicht überschlagenes  -Eck genau   Diagonalen. Bei einem nichtkonvexen Polygon gibt es (im Bereich eines überstumpfen Innenwinkels) Diagonalen außerhalb des Polygons.

Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen Polygons durch kartesische Koordinaten   gegeben sind, kann der Umfang des Polygons durch Addition der mit dem Satz des Pythagoras berechneten Seitenlängen bestimmt werden:

 

Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen positiv orientierten Polygons durch kartesische Koordinaten   gegeben sind, kann die Fläche des Polygons nach der gaußschen Trapezformel und deren Variationen berechnet werden:

  •  
  •  
  •  

In den Formeln gilt:  .

Der Flächeninhalt von Gitterpolygonen, deren Ecken alle auf einem Gitter liegen, kann mit dem Satz von Pick berechnet werden.

Algorithmen

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Flächeninhalt

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Insbesondere für die Programmierung ist die folgende Darstellung der gaußschen Trapezformel besonders geeignet, da sich zum Speichern der Koordinaten Arrays anbieten, die Indizierung von Arrays bei vielen Programmiersprachen ohnehin bei null beginnt und die Modulo-Funktion somit besonders elegant zum Einsatz kommen kann. Die Modulo-Funktion ist hier nötig, um sogenannte Off-by-one-Fehler bei der Array-Indizierung auszuschließen. Dabei sind  ,  ,  , die Koordinaten der   Eckpunkte des Polygons.

 

Konvexe Hülle

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Konvexe Hülle von Punkten in der Ebene

Algorithmen für die Ermittlung der konvexen Hülle von   Punkten in der Ebene haben als untere Schranke eine asymptotische Laufzeit von  . Der Beweis erfolgt durch Reduktion auf das Sortieren von   Zahlen (siehe Sortierverfahren). Liegen nur   der   Punkte auf dem Rand der konvexen Hülle, ist die Schranke bei  .

Es gibt mehrere Algorithmen zur Bestimmung der konvexen Hülle:

Punkt im Polygon

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Die Anzahl der Schnittpunkte des Strahls mit den Kanten gibt an, ob sich der Punkt innerhalb oder außerhalb des Polygons befindet.

Es gibt einen einfachen Algorithmus, mit dem geprüft werden kann, ob sich ein Punkt innerhalb eines Polygons in der Ebene befindet:

Es wird ein horizontaler Strahl durch den untersuchten Punkt gelegt und untersucht, wie oft sich der Strahl mit den Kanten des Polygons schneidet. Der Punkt befindet sich innerhalb des Polygons, wenn die Anzahl der Schnittpunkte rechts vom Punkt ungerade ist. Wenn die Anzahl gerade ist, befindet sich der Punkt außerhalb.

Verwendung

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In der Informatik sind wichtige Approximationen komplexer Polygone die konvexe Hülle und das minimal umgebende Rechteck. In Algorithmen wird oft erst anhand der Approximation auf einen möglichen nichtleeren Schnitt mit einem anderen geometrischen Objekt getestet (oder dieser ausgeschlossen), erst anschließend das ganze Polygon in den Speicher geladen und ein exakter Schnitt berechnet.

In der 3D-Computergrafik werden neben anderen Verfahren der geometrischen Modellierung beliebige (auch gekrümmte) Oberflächen als Polygonnetz modelliert. Dreiecksnetze eignen sich besonders gut zur schnellen Darstellung von Oberflächen, können allerdings nicht so gut durch Subdivision Surfaces interpoliert werden. Zur Speicherung von polygonalen Netzen gibt es eine Reihe bekannter Datenstrukturen.

In der Architektur werden regelmäßige Polygone oft als Grundriss verwendet. Bekannte Beispiele:

Beispiele für Polygone im Maschinenbau

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Weiterhin wird der Begriff Polygon auch analog für die Verwendung als formschlüssige polygonale Welle-Nabe-Verbindung im Maschinenbau genutzt. Hierbei sind beliebige Polygonprofile denkbar.

Beispiele für Polygone in der Geographie

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US-Bundesstaaten mit polygonalen Umrissen

Karten, die die Grenzen der US-Bundesstaaten Colorado und Wyoming in Mercator-Projektion zeigen, lassen diese jeweils als ein Rechteck und damit und damit als ein konvexes Polygon erscheinen. Die Staaten New Mexico und Utah erscheinen dabei in der Form eines konkaven Polygons.

Siehe auch

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Commons: Polygon – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Polygon – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wiktionary: Vieleck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

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  1. Wilhelm Gemoll: Griechisch-Deutsches Schul- und Handwörterbuch. G. Freytag Verlag / Hölder-Pichler-Tempsky, München/Wien 1965.
  2. Dieter Neßelmann: 1 Ein axiomatischer Aufbau der euklidischen Geometrie, Satz 1.1.3. In: Manuskript zur Vorlesung. Universität Rostock, 22. Februar 2010, S. 4–5, abgerufen am 23. Oktober 2021.