Abzinsung und Aufzinsung

Rechenoperation aus der Finanzmathematik für den Wert einer zukünftigen Zahlung
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Die Abzinsung (auch Diskontierung, engl. discounting; oft auch Abdiskontierung genannt) ist eine Rechenoperation aus der Finanzmathematik. Berechnet wird hierbei der Wert einer zukünftigen Zahlung. Häufig wird mittels Diskontierung der gegenwärtige Wert (Barwert) einer zukünftigen Zahlung ermittelt.

Abzinsung zur Ermittlung des Kapitalwerts (Beispielhafte Übersicht)
Jährliche Abzinsung mit Abzinsungsfaktoren als Diagramm

Entsprechend ist die Aufzinsung (auch Askontierung) die umgekehrte Rechenoperation. Bei ihr wird der Wert, den eine Zahlung zu einem späteren Zeitpunkt hat, ermittelt.

Auf Grund der Existenz von (positiven) Zinsen hat derselbe Geldbetrag einen umso höheren Wert, je früher man ihn erhält, siehe Zeitwert des Geldes. Dieser Zusammenhang wird durch die Rechenoperationen der Abzinsung und Aufzinsung wiedergegeben.

Der Wert , den eine zum Zeitpunkt fließende Zahlung der Höhe zum Zeitpunkt hat, berechnet sich als Produkt von und dem Diskontierungsfaktor oder Abzinsfaktor , der eine Funktion der Zeitpunkte und sowie des maßgeblichen Zinssatzes ist.

Da es sich um eine Abzinsung handelt, liegt der Zeitpunkt vor dem Zeitpunkt ().

Der Aufzinsungsfaktor ist einfach der Kehrwert des Diskontierungsfaktors für den gleichen Zeitraum. Er dient z. B. zur Ermittlung eines Endwertes.

Positive Zinssätze vorausgesetzt, ist der Diskontierungsfaktor immer kleiner als und größer als . Entsprechend ist der Aufzinsungsfaktor immer größer als . Die genaue Form des Aufzinsungs- und des Diskontierungsfaktors hängt von der gewählten Zinskonvention ab.

Bei den Zinsen kann es sich sowohl um tatsächliche Zinsen (Marktzinsen) als auch um fiktive, etwa kalkulatorische oder Alternativzinsen handeln (wie zum Beispiel bei der Unternehmensbewertung).

Bestimmung des Diskontierungsfaktors und des Aufzinsfaktors

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Im Folgenden wird die Form des Diskontierungsfaktors   zunächst für eine Abzinsung auf die Gegenwart (d. h.  ) angegeben. Der Diskontierungsfaktor hängt dann nur noch vom Zeitpunkt der künftigen Zahlung  , dieser kann dann einfach ohne Index als   geschrieben werden, und dem verwendeten Zinssatz   ab. Der Aufzinsfaktor   gilt analog für die Aufzinsung einer gegenwärtigen Zahlung auf einen späteren Zeitpunkt  .

Lineare Verzinsung

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Die lineare Verzinsung wird normalerweise für Zeiträume angewendet, die kleiner als ein Jahr sind. Die Faktoren   und   berechnen sich zu

 

wobei   die Anzahl der Zinstage bis   und   die Anzahl der Zinstage pro Jahr nach der gewählten Zinsberechnungsmethode sind.

Beispiel

  • Beträgt der Zinssatz 5 % und   liegt 3 Monate in der Zukunft, dann beträgt der Diskontierungsfaktor bei Verwendung der Zinsberechnungsmethode 30/360 (d. h. 30 Zinstage pro Monat und 360 Zinstage pro Jahr, sogenannte deutsche Methode)
  •  .
  • Das heißt, dass eine Zahlung von 100 EUR, die man in 3 Monaten erhält, abgezinst einen gegenwärtigen Wert von 98,77 EUR hat.

Exponentielle Verzinsung

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Die exponentielle Verzinsung wird normalerweise für Zeiträume verwendet, die länger als ein Jahr sind. Sie berücksichtigt implizit Zinseszinseffekte. Liegt der Zinssatz bei   und erfolgt die Zahlung in   Jahren, so ist der Diskontierungsfaktor

 .

Beispiel

  • Beträgt der Zinssatz wiederum 5 % und '  liegt 4 Jahre in der Zukunft, dann betragen die Faktoren
  •  .

Stetige Verzinsung

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Die stetige Verzinsung ist ein Sonderfall der exponentiellen Verzinsung und wird häufig bei theoretischen finanzmathematischen Fragestellungen verwendet. Sie berücksichtigt Zinseszinseffekte. Der Diskontierungsfaktor für eine Zahlung in   Jahren lautet hier

 .

  ist hierbei die Eulersche Zahl

Beispiel

  • Bei Verwendung derselben Parameter wie bei dem Beispiel zur exponentiellen Verzinsung beträgt der Diskontierungsfaktor
  •  ,
  • liegt also nahe bei dem für die exponentielle Verzinsung

Abzinsung auf einen zukünftigen Zeitpunkt

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Liegt der Zeitpunkt, auf den abgezinst werden soll, in der Zukunft, erfolgt die Berechnung analog. Der zu verwendende Zinssatz ist dann ein Zinssatz für einen Zeitraum, der in der Zukunft startet und entspricht damit einem Forward-Zins. Wird ein Zinssatz von   angenommen, der Zeitpunkt der Zahlung   liegt in 9 Monaten und es soll auf einen Zeitpunkt   in 3 Monaten abgezinst werden, so lautet der Diskontfaktor

 ,

wenn eine lineare Verzinsung und wiederum die deutsche Zinsmethode angenommen wird. Es wird über (9 − 3) Monate = 6 Monate abgezinst, weil der Zeitpunkt, auf den abgezinst wird, 6 Monate vor dem Zeitpunkt der Zahlung liegt.

Siehe auch

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Literatur

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  • Lutz Kruschwitz: Investitionsrechnung. 10. Auflage. Oldenbourg, München 2005. ISBN 3-486-57771-9
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Wiktionary: Abzinsung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen